Dynamics’ analysis of a triplet-map coupled network in the complex plane

Abstract

This thesis analyzes the coupled network dynamics leading to fractal boundaries in the complex plane. Each of the two populations has three maps that use a quadratic formula in discrete time expressed as iteration steps. They are also coupled with each other through two coupling strengths that express whether they belong to the same population. It depends on c and the maps' initial order, which can make the whole network diverge to infinity or remain bounded with particular synchronization states and follow some periodic cycles. For instance, one of the states is called the chimera state, and it happens when all maps of the same population are synchronized while all maps of the other population are not. We follow a bottom-up approach and some parameter criteria to detect all these states with two initial orders, comparing their differences and analyzing what happens when changing a parameter.Esta tesis analiza las dinámicas de una red acoplada que conduce a límites fractales en el plano complejo. Cada una de las dos poblaciones tiene tres mapas que utilizan una fórmula cuadrática en tiempo discreto expresado como pasos iterativos. Estos también están acoplados entre sí mediante dos fuerzas de acoplamiento que expresan si pertenecen a la misma población. Depende de c y del orden inicial de mapas, que pueden hacer que toda la red diverja hasta el infinito o permanezca acotada con estados de sincronización particulares y siga algunos ciclos periódicos. Por ejemplo, uno de los estados se llama estado de quimera, y ocurre cuando todos los mapas de la misma población están sincronizados, mientras que todos los mapas de la otra población no lo están. Seguimos un enfoque ascendente y algunos criterios de parámetros para detectar todos estos estados con dos órdenes iniciales, comparando sus diferencias y analizando qué ocurre al cambiar un parámetro.Aquesta tesi analitza les dinàmiques d’una xarxa acoblada que condueix a límits fractals al pla complex. Cadascuna de les dues poblacions té tres mapes que utilitzen una fórmula quadràtica en temps discret expressat com a passos iteratius. Aquests també estan acoblats entre si mitjançant dues forces d’acoblament que expressen si pertanyen a la mateixa població. Depèn de c i de l’ordre inicial de mapes, que poden fer que tota la xarxa divergeixi fins a l’infinit o romangui acotada amb estats de sincronització particulars i segueixi alguns cicles periòdics. Per exemple, un dels estats s’anomena estat de quimera, i passa quan tots els mapes de la mateixa població estan sincronitzats, mentre que tots els mapes de l’altra població no ho estan. Seguim un enfocament ascendent i alguns criteris de paràmetres per detectar tots aquests estats amb dos ordres inicials, comparant les seves diferències i analitzant què passa en canviar un paràmetre.