Analysis of a network of coupled maps in the complex plane

Abstract

Quadratic maps with complex values exhibit multiple behaviors, ranging from convergence to a fixed point to divergence towards infinity, depending on the complex parameter c and initial conditions. The Julia Set is defined by initial conditions for which the map remains bounded for a specific c. This bachelor thesis aims to analyze the dynamics of a coupled network containing four maps, divided into two pairs. The network can lead to various classification states: full synchronization, full desynchronization, within-pair synchronization, across-pair synchronization, and chimera states. This study examines different Julia sets, emphasizing how synchronization at the origin of the complex plane influences the prevalence of each synchronization state within the Julia set. Furthermore, the thesis investigates dynamics when the complex parameter c is positioned near the boundary between convergence and divergence of the Mandelbrot set. Comparative analysis with classical Julia sets highlights differences in convergence behaviors, offering insights into the complex dynamics and fractal attributes of coupled network Julia sets.Los mapas cuadráticos con valores complejos exhiben múltiples comportamientos, desde la convergencia hacia un punto fijo hasta la divergencia hacia el infinito, dependiendo del parámetro complejo c y las condiciones iniciales. El Conjunto de Julia se define por condiciones iniciales para las cuales el mapa permanece acotado para un valor específico de c. Este trabajo fin de grado tiene como objetivo analizar la dinámica de una red acoplada que contiene cuatro mapas, divididos en dos pares. La red puede llevar a varios estados de sincronización: sincronización completa, desincronización completa, sincronización dentro de pares, sincronización entre pares y estados quimera. Este estudio examina diferentes conjuntos de Julia, enfatizando cómo la sincronización en el origen del plano complejo influye en la prevalencia de cada estado de sincronización dentro del conjunto de Julia. Además, la tesis investiga la dinámica cuando el parámetro complejo c se sitúa cerca del límite entre la convergencia y la divergencia del conjunto de Mandelbrot. El análisis comparativo con el conjunto de Julia clásico resalta diferencias en los comportamientos de convergencia, ofreciendo perspectivas sobre la dinámica compleja y los atributos fractales de los conjuntos de Julia en redes acopladas.Els mapes quadràtics amb valors complexos exhibeixen múltiples comportaments, des de la convergència cap a un punt fix fins a la divergència cap a l'infinit, depenent del paràmetre complex c i les condicions inicials. El Conjunt de Julia es defineix per condicions inicials per a les quals el mapa roman acotat per a un valor específic de c. Aquest treball de final de grau té com a objectiu analitzar la dinàmica d'una xarxa acoblada que conté quatre mapes, dividits en dos parells. La xarxa pot conduir a diversos estats de sincronització: sincronització completa, desincronització completa, sincronització dins de parells, sincronització entre parells i estats quimera. Aquest estudi examina diferents conjunts de Julia, destacant com la sincronització a l'origen del pla complex influeix en la prevalença de cada estat de sincronització dins del conjunt de Julia. A més, la tesi investiga la dinàmica quan el paràmetre complex c es situa prop del límit entre la convergència i la divergència del conjunt de Mandelbrot. L'anàlisi comparativa amb conjunts de Julia clàssics posa de manifest diferències en els comportaments de convergència, oferint perspectives sobre la dinàmica complexa i els atributs fractals dels conjunts de Julia en xarxes acoblades.