L'aplicabilitat de la fórmula d'integració per parts en un espai gaussià

Abstract

Durant els anys setanta, el matemàtic francès Paul Malliavin va revolucionar la teoria de les probabilitats quan va introduir el càlcul de variacions estocàstic que avui porta el seu nom. Malliavin va construir una estructura diferenciable en un espai gaussià de manera que la integral d’Itô fos un objecte diferenciable. La seva motivació principal va ser utilizar aquesta teoria per donar una demostració probabilística del teorema de Hörmander per a operadors hipoel·líptics de segon ordre. Una de les eines clau d’aquest càlcul diferencial estocàstic és la seva fórmula d’integració per parts, que fa intervenir dos operadors, la derivada i el seu adjunt, anomenat integral de Skorohod. Introduirem les nocions bàsiques del càlcul de Malliavin i donarem algunes de les seves aplicacions a tres àrees diferents —encara que molt relacionades— de les matemàtiques, que són el càlcul de probabilitats, l’estadística i les matemàtiques financeres.