SABR : a stochastic volatility model in practice

Abstract

The Black and Scholes model (BS) assumes that the volatility of an asset is constant over the trading period. As a result, BS returns a flat volatility surface. This assumption fails to capture the asset’s volatility dynamics (smile), which is particularly important if we want to price complex derivatives. Local Volatility (LV) models captures the volatility smile, but not the price dynamics. In this project, we study the SABR (Stochastic Alpha, Beta, Rho) model, a stochastic volatility (SV) model designed to describe the implied volatility (IV) surface capturing both the smile and price dynamics. We calibrate its parameters, compute the IV using its closed-form solution and Monte Carlo Methods (MCM), and compare our results with real market data. Finally, we discuss our results and their implementations to practitioners.La fórmula de Black y Scholes (BS) asume que la volatilidad de un activo es constante durante el periodo de negociación. En consecuencia, la superficie de volatilidad con BS es plana. Este supuesto falla en capturar la dinámica de la volatilidad (sonrisa), la cual es particularmente importante para determinar precios de derivados complejos. Los modelos de Volatilidad Local capturan la sonrisa de la volatilidad, pero no así la dinámica adecuada de los precios. En este trabajo estudiamos el modelo SABR (Alfa, Beta y Rho Estocástico), un modelo de Volatilidad Estocástica diseñado para describir la Superficie de Volatilidad Implícita (VI) capturando tanto la sonrisa como la dinámica de los precios subyacentes. Calibramos los parámetros del modelo, estimamos la VI usando tanto su fórmula cerrada como Métodos de Monte Carlo, y comparamos nuestros resultados con datos de mercado. Finalmente, discutimos las implicaciones de los resultados para los profesionales de la industria.